Fhyujk

Aquest article o secció no cita les fonts o necessita més referències per a la seva verificabilitat.

Equació quadràtica que s'obté al aplicar el canvi de variable t=x² a l'equació biquadrada ax⁴+bx²+c=0.

Les equacions biquadrades (dues vegades quadrades) són un cas especial de les equacions polinòmiques de 4t grau.

S'anomenen equacions biquadrades aquelles equacions de 4t grau incompletes que només tenen els termes en x4{displaystyle x^{4}} en x2{displaystyle x^{2}} i el terme independent.
Per tant tota equació biquadrada, un cop reduïda, es podrà escriure com:
ax4+bx2+c=0{displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}

Aquestes equacions es poden resoldre fent un canvi de variable t=x2{displaystyle t=x^{2}}
que ens converteix aquesta equació en una de 2n grau

Si t=x2{displaystyle t=x^{2}} aleshores ax4+bx2+c=0{displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0} es pot escriure com
at2+bt+c=0{displaystyle at^{2}+bt+c=0} que és una equació de segon grau en t{displaystyle t} i que es pot resoldre utilitzant la fórmula general.

Si t1{displaystyle t_{1}} i t2{displaystyle t_{2}} són les solucions de l'equació en t per trobar les solucions de l'equació biquadrada original haurem de desfer el canvi de variable. Així les solucions seran

x2=t1:x=±t1{displaystyle x^{2}=t_{1}:x=pm {sqrt {t_{1}}}}

x2=t2:x=±t2{displaystyle x^{2}=t_{2}:x=pm {sqrt {t_{2}}}}

Exemple

Al aplicar el canvi t=x2{displaystyle t=x^{2}} a l'equació biquadrada x4−2x2+1=0{displaystyle x^{4}-2x^{2}+1=0}, s'obté l'equació t2−2t+1=0{displaystyle t^{2}-2t+1=0}, que té l'unica solució de multiplicitat doble t=1{displaystyle t=1}. Per tant, les úniques solucions de l'equació biquadrada són x1=1{displaystyle x_{1}=1} i x2=−1{displaystyle x_{2}=-1}.

Enllaços externs

• Equacions biquadrades resoltes